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| IL FEM: QUANDO SERVE E COME FUNZIONA |
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Approfondimento tecnico
per cultori |
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Abbiamo trattato in un articolo precedente
i principi di base della progettazione, principi che ora andremo per quanto possibile ad approfondire,
focalizzando la nostra attenzione su alcune tecniche di verifica strutturale, cioè su alcuni di quei calcoli che
il progettista esegue per capire se i componenti da lui disegnati sono in grado di sopportare le sollecitazioni
a cui verranno sottoposti.
Quando un componente viene sollecitato, può accadere che le forze in gioco siano funzione degli spostamenti da
esse stesse generati, delle sollecitazioni esterne, del tempo, delle accelerazioni, della velocità, della
temperatura...
La concomitanza tanti fattori spesso legati fra loro nella reciproca definizione, fa si che le equazioni teoriche
che governano il sistema che stiamo studiando siano in generale "equazioni differenziali non lineari alle
derivate parziali". Purtroppo è sicuramente più facile pronunciare il nome di questi "oggetti"
che tentare di trovarne una soluzione.
Per questo si ricorre alla loro semplificazione con alcune ipotesi, andando però incontro a
qualche inconveniente.
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Analizziamo il semplicissimo caso del dimesionamento della sezione
Ar nell' asta con integlio rappresentata nella figura qui accanto sollecitata a flessione dalla
forza F.
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Le semplici formule che la Scienza delle Costruzioni mette a disposizione non tengono conto della
concentrazione di tensioni che si verifica nell'intorno dell'intaglio e questo porta a sottostimare
l'entità della sollecitazione in quella zona, dando come risultato una sezione ideale Aid che probabilmente
non sarà in grado di reggere lo sforzo a cui è sottoposta.
In questo semplice caso, è possibile ricorrere a un coefficiente moltiplicativo K, detto
"coefficiente di concentrazione delle tensioni" che concorrerà alla definizione della sezione,
assieme al coefficiente di sicurezza S, di cui abbiamo già parlato in un
articolo precedente.
Avremo quindi:
Ar = Aid · K · S
Purtroppo K va determinato sperimentalmente per ogni singola sollecitazione e tipo di
intaglio e ciò rappresenta davvero un grosso limite.
Nel calcolo strutturale vi sono anche altri "problemi", o meglio non linearità, che il calcolo
tradizionale difficilmente può considerare.
Semplificando, possiamo ridurle a tre categorie fondamentali:
- geometrica
- di contatto
- di materiale
Il primo caso è quello a cui ci si trova di fronte quando, pur inducendo piccole deformazioni e sul
materiale si hanno grandi spostamenti (freccie) nella struttura.
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Un esempio potrebbe essere quello di un'asta molto lunga sottoposta a
flessione.
In questa situazione non è più lecito considerare coincidenti le configurazioni deformata ed indeformata della
struttura. In pratica questo significa che l'andamento dei carichi all'interno della struttura è funzione di come
questa si deforma.
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Il secondo caso riguarda le strutture che hanno parti che possono
entrare in contatto a causa delle deformazioni imposte dalle forze che le sollecitano.
In questa situazione è chiaro che sia la rigidezze che l'andamento dei carichi all'interno della struttura
dipendono dalle modalità con cui il contatto avviene.
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Il terzo caso riguarda le strutture nelle quali, sotto l'azione
del carico, alcune zone si deformano al punto tale da superare il limite elastico del materiale.
Questo implica un cedimento locale del materiale e quindi una redistribuzione dell'andamento della sollecitazione
all'interno della struttura.
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L'avvento del FEM (Finite Element Method) ha permesso di superare efficacemente
questi problemi. Con il FEM è possibile infatti studiare localmente le conseguenze di una non linearità per poi
vederne gli effetti sull'intero sistema, senza dover ricorrere a tabelle e diagrammi sperimentali la cui validità
può essere a volte limitata.
Una spiegazione molto semplificata dei principi del FEM è già stata data in un
articolo precedente.
In termini più precisi il FEM vede il dominio da analizzare come l'unione di tanti sottodomini di forma
elementare, detti elementi, in cui vengono adottate le equazioni differenziali classiche.
I valori dell'incognita all'interno di ogni elemento, sia essa uno spostamento, una temperatura, una velocità,
vengono specificati da funzioni interpolanti dette "funzioni di forma".
Il loro andamento viene definito univocamente dal valore che l'incognita assume in specifici punti caratteristici
dell'elemento, detti nodi.
Le uniche variabili del problema diventano così i valori che le incognite assume nei nodi. Questi sono solitamente
posti sui bordi dell'elemento e sono in comune con gli elementi adiacenti. In questa maniera l'andamento del campo
incognito in un elemento influenza anche quello degli elementi vicini.
L'unione di tutte queste informazioni fornirà infine una visione generale del problema, dando origine sia ad
esplicative mappe colorate che a più accurati tabulati numerici.
Tutte le parole che abbiamo speso fino ad ora, per un computer si traducono freddamente in un enorme
sistema di equazioni da risolvere.
Nella sua formulazione più semplice applicata nel campo del calcolo strutturale, il FEM si basa sulla
proporzionalità esistente tra la forza applicata e lo spostamento che subisce il punto di applicazione della
forza stessa.
In termini matematici, questo concetto è espresso tramite la relazione:
F = K · x (1)
dove F è la forza applicata, K la rigidezza del corpo ed x è lo spostamento.
Se abbiamo una struttura comunque complessa divisa in tanti elementi per ognuno dei quali valga la (1), potremo
scrivere una equazione per ogni elemento:
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| f1 | = | K1 | · | x1 |
| f2 | = | K2 | · | x2 |
| : | | : | | : |
| f3 | = | K3 | · | x3 |
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cioè in breve:
{F} = [K] · {x} (2)
La (1) ha assunto la forma di un sistema di equazioni il cui numero dipende direttamente dalla quantità di elementi.
{F} ed {x} sono ora definiti come "vettori" e contengono sia valori noti riferiti a
nodi su cui sono applicate forze note o di cui già si conosce lo spostamento, sia tutte le forze e gli spostamenti
non noti che rappresentano le incognite del nostro problema.
[K] viene invece definita "matrice di rigidezza" del sistema, è completamente definita ed è
costruita assemblando in maniera adeguata tutte le rigidezze dei singoli elementi.
Il numero e la natura delle equazioni che costituiscono il sistema (2) da quanti e quali elementi si sono
utilizzati per dividere la struttura che stiamo studiando, cioè dalla densità e dalla "qualità"
della "mesh" utilizzata.
Si può capire come (2) possa essere costituito da migliaia di equazioni per risolvere le quali è certamente necessario
un computer dalla cui potenza dipende la velocità della soluzione. Il processo di "meshatura", cioè la
divisione della nostra struttura in elementi, va quindi attentamente gestito per non appesantire inutilmente il
calcolo.
I programmi commerciali per l'analisi FEM sono spesso dotati di "meshatori automatici" che lavorano
direttamente sui disegni CAD, cioè sui disegni in formato elettronico vettoriale prodotti usualmente dai
disegnatori. Tali meshatori vanno guidati "in modo ragionato", per avere una mesh (un reticolo) più
fitta dove si ha bisogno di una maggiore precisione o dove le non linearità sono molto accentuate.
Se ciò non avviene si rischia di spendere tempo e denaro per ottenere risultati decisamente mediocri e fuorvianti.
Molto attenta deve essere anche la scelta del tipo di elemento utilizzato per la mesh: questi possono differire
per forma e proprietà ed una scelta errata può portare a risultati peggiori di quelli ottenibili con le tecniche
di calcolo tradizionali.
Va poi sottolineato che il FEM è solo un efficace strumento di ottimizzazione per componenti di cui si siano già
state definite, almeno approssimativamente, forma e dimensioni.
Sono allo studio algoritmi in grado di "progettare" automaticamente, ma questi sono ben lungi dall'essere
efficaci se non in situazioni molto mirate.
Il computer ha quindi portato una grande rivoluzione nei processi di progettazione, aumentandone velocità,
efficacia e precisione, ma il progettista, la sua fantasia e la sua esperienza rimangono ancora insostituibili,
almeno fino a quando i computer saranno solo degli "stupidi molto veloci".
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| Niko Baldini
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